POLINMIOS

Polinômios: o que são, como resolver, exemplos


Polinômios: o que são, como resolver, exemplos

Polinômios são expressões algébricas formadas por números (coeficientes) e letras (partes literais). As letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da expressão. Por exemplo:

  • 3ab + 5
  • x + 4xy – 2xy
  • 25x – 9y

Os polinômios podem ser classificados de acordo com o número de termos que possuem. Um termo é uma parte da expressão separada por uma operação de soma ou subtração. Assim, temos:

  • Monômio: polinômio com um termo. Exemplo: 3x
  • Binômio: polinômio com dois termos. Exemplo: a – b
  • Trinômio: polinômio com três termos. Exemplo: x + 3x + 7
  • Polinômio geral: polinômio com qualquer número de termos. Exemplo: 4x – 5xk + 6k – 3xk + 8k

O grau de um polinômio é dado pelo maior expoente da parte literal. Para encontrar o grau de um polinômio, devemos somar os expoentes das letras que compõem cada termo e escolher a maior soma. Por exemplo:

  • 2x + y → grau 3
  • 4 xy + 8xy – xy → grau 6 (3 + 3)
  • x + y + z → grau 1
  • xn+ x → grau n+1

O polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Nesse caso, o grau do polinômio não é definido.

Podemos realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão entre polinômios. Veja alguns exemplos:

  • Adição: somamos os coeficientes dos termos semelhantes (mesma parte literal). Exemplo:
    (- 7x+ 5 xy – xy + 4y) + (- 2xy + 8xy – 7y) = -7x+ 3xy + 7xy – 3y
  • Subtração: invertemos os sinais dos termos do segundo polinômio e depois somamos os coeficientes dos termos semelhantes. Exemplo:
    (4x- 5xk + 6k) – (3xk – 8k) = 4x-8xk +14k
  • Multiplicação:multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio e depois somamos os coeficientes dos termos semelhantes. Exemplo:
    (3x Divisão: utilizamos o método da chave para dividir um polinômio por outro. O dividendo é colocado dentro da chave e o divisor é colocado fora. Em seguida, dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor e colocamos o resultado no quociente. Depois, multiplicamos esse resultado pelo divisor e subtraímos do dividendo. Repetimos esse processo até que o resto seja zero ou de grau menor que o divisor. Exemplo:
    Exemplo de divisão de polinômios pelo método da chave

    Fatoração: fatorar um polinômio significa escrevê-lo como um produto de outros polinômios. Existem vários casos de fatoração que podem ser aplicados aos polinômios, como:

    • Fator comum em evidência: retiramos o fator que se repete em todos os termos do polinômio. Exemplo:
      4x + 20 = 4 (x + 5)
    • Agrupamento: agrupamos os termos do polinômio de modo a formar um fator comum em evidência em cada grupo. Depois, retiramos o fator comum dos grupos. Exemplo:
      8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y)
    • Trinômio quadrado perfeito: identificamos se o polinômio é da forma a+ 2ab + b ou a- 2ab + b. Se for, podemos fatorá-lo como (a + b) ou (a – b), respectivamente. Exemplo:
      x+ 6x + 9 = (x + 3)
    • Diferença de quadrados: identificamos se o polinômio é da forma a- b. Se for, podemos fatorá-lo como (a + b) . (a – b). Exemplo:
      x- 9 = (x + 3) . (x – 3)
    • Soma ou diferença de cubos: identificamos se o polinômio é da forma a+ b ou a- b. Se for, podemos fatorá-lo como (a + b) . (a- ab + b) ou (a – b) . (a+ ab + b), respectivamente. Exemplo:
      x

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